đạo hàm của quãng đường

Bài toán tìm giá trị lớn nhất GTLN , giá trị nhỏ nhất GTNN của hàm số xuất hiện khá thường xuyên trong các đề thuvienphapluat.edu.vn Hỏi Đáp b/ ViÕt phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Câu 2 (1,0đ) : a) Tính đạo hàm của hàm số sau b) Tính đạo hàm của hàm số sau . Từ đó tính . Câu 3 (1,0đ) : Cho hàm số . Từ đó tính . I. Chuyển động cơ. 1. Chất điểm. - Một vật chuyển động được coi là một chất điểm nếu kích thước của nó rất nhỏ so với độ dài đường đi. Chất điểm có khối lượng là khối lượng của vật. 2. Chuyển động cơ. - Chuyển động cơ của một vật (gọi tắt là Nạn nhân ngồi ghế phụ, gác chân lên táp-lô nên khi xảy ra va chạm đã bị mắc kẹt. Tài xế xe ô tô màu đỏ chia sẻ, sau khi nhanh chóng ghi lại clip hiện trường vụ tai nạn theo thủ tục đã kịp thời đưa người phụ nữ bị mắc kẹt (vợ của tài xế xe ô tô màu vàng) tới Để di chuyển từ trung tâm thị trấn Sapa đến núi Hàm Rồng bạn có thể đi qua đường Ngũ Chỉ Sơn và Đường lên núi Hàm Rồng. Thời gian di chuyển là khoảng 9 phút với quãng đường 2,1km. Bạn có thể lựa chọn phương tiện là xe máy hoặc ô tô để đến với núi Hàm Rồng. Câu Hỏi Trắc Nghiệm Tìm biên độ dao động của vật khi biết quãng đường đi trong 1 chu kì. VẬT LÝ 12 Chương 1 Bài 1 Vấn đề 1 Câu 27. Trắc nghiệm Dễ. Một vật dao động điều hoà đi được quãng đường 16cm trong một chu kì dao động. Biên độ dao động của vật là. 8cm. Vay Tiền Online Từ 18 Tuổi. BÀI TOÁN VẬN TỐC QUÃNG ĐƯỜNG 1. VẤN ĐỀ CỐT LÕI - Giả sử một chuyển động phụ thuộc theo thời gian với quãng đường \\displaystyle S = St\ thì vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \\displaystyle t\ là \\displaystyle vt = S't\ và gia tốc \\displaystyle at = v't\ - Do đó, trong trường hợp biết gia tốc \\displaystyle at\, ta có thể tìm ngược được \\displaystyle vt = \int {atdt = ft + C} \ - Khi đó, giả sử ta muốn tính quãng đường đi được từ thời điểm \\displaystyle {t_1}\ đến thời điểm \\displaystyle {t_2}\ thì \\displaystyle \Delta S = S{t_2} - S{t_1} = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {vtdt} \ - Vướng mắc thường gặp ++ Xác định thời điểm ban đầu \\displaystyle t = 0\ Mỗi chuyển động ta nên chọn một thời điểm ban đầu phù hợp cho mục đích tính toán. Thời điểm ban đầu thường chọn khi chuyển động bắt đầu một hành trình mới. Ví dụ 1 Một vật đang chuyển động đều với vận tốc \\displaystyle 30m/s\ thì chuyện động chậm dần đều với gia tốc \\displaystyle - 70m/{s^2}\. Thì ta chọn thời điểm ban đầu là lúc bắt đầu chuyển động chậm dần. Ví dụ 2 Vật A chuyển động đều từ D với vận tốc \\displaystyle 30m/s\ được \\displaystyle 10s\ thì chuyển động chậm dần với gia tốc \\displaystyle - 70m/{s^2}\. Sau khi vật A khởi hành được \\displaystyle 8s\ thì vật B bắt đầu xuất phát cùng chiều từ nhanh dần đều với gia tốc \\displaystyle 50m/{s^2}\. Hỏi sau bao lâu hai vật gặp nhau? Khi gặp nhau thì vật A đã dừng lại chưa? Thì ta chọn thời điểm ban đầu cho A là lúc bắt đầu chuyển động chậm dần. Thời điểm ban đầu cho B là lúc B khởi hành. Hai thời điểm khởi đầu này chênh nhau \\displaystyle 2s\. ++ Xác định \\displaystyle C\ trong \\displaystyle vt\ Thường dựa vào vận tốc tại thời điểm \\displaystyle t = 0\ khởi hành, ta có \\displaystyle C = v0 - f0\ ++ Các thời điểm đặc biệt Dừng hẳn \\displaystyle \Leftrightarrow vt = 0 \Leftrightarrow t = ...\ ; \\displaystyle vt = \max vt \Leftrightarrow t = ...\ ,…. 2. VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 1 Một vật đang chuyển động đều với vận tốc \\displaystyle 30m/s\ thì chuyện động chậm dần đều với gia tốc \\displaystyle - 70m/{s^2}\. Hỏi từ lúc giảm tốc đến khi dừng hẳn thì vật di chuyển được quãng đường bao xa?Hướng dẫn Gọi thời điểm ban đầu \\displaystyle t = 0\ là khi vật bắt dầu chuyển động chậm dần, khi đó vật chuyển động với vận tốc \\displaystyle vt = \int { - 70dt = - 70t + C} \. Khi \\displaystyle t = 0\ thì vận tốc đang ở \\displaystyle 30m/s\ nên \\displaystyle 30 = v0 = - 70 \times 0 + C\ \\displaystyle \Rightarrow C = 30\. Vậy \\displaystyle vt = - 70t + 30\ Vật dừng hẳn khi \\displaystyle vt = 0 \Leftrightarrow - 70t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{7}\. Vậy quãng đường vật chuyển động được từ khi bắt đầu giảm tốc đến khi dừng hẳn là \\displaystyle \Delta S = \int\limits_0^{\frac{3}{7}} {\left { - 70t + 30} \rightdt = \frac{{45}}{7} = \m. Ví dụ 2 Vật A chuyển động đều từ D với vận tốc \\displaystyle 30m/s\ được \\displaystyle 10s\ thì chuyển động chậm dần với gia tốc \\displaystyle - 10m/{s^2}\. Sau khi vật A khởi hành được \\displaystyle 8s\ thì vật B bắt đầu xuất phát cùng chiều từ D nhanh dần đều với gia tốc \\displaystyle 50m/{s^2}\. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc B khởi hành hai vật gặp nhau? Khi gặp nhau thì vật A đã dừng lại chưa? Hướng dẫn Gọi \\displaystyle t = 0\ là khi vật B khởi hành và hai vật gặp nhau sau \\displaystyle {t_0} > 0\. Khi đó vật A chuyển động đều trong 2s và chậm dần đều trong \\displaystyle \left {{t_0} - 2} \right\;s\ nếu \\displaystyle {t_0} > 2\ - Xét vật A Vật A chuyển động thành 2 chặng chặng 1 là chuyển động đều với vận tốc \\displaystyle 30m/s\ trong 10s, quãng đường chặng này là \\displaystyle \int\limits_0^{10} {30dt} = 300m\. Chặng thứ 2 là chuyển động chậm dần đều với thời gian \\displaystyle {t_0} - 2\ cho đến khi gặp B, quãng đường mà A di chuyển được ở chặng này là \\displaystyle \int\limits_0^{{t_0} - 2} {\left { - 10t + 30} \rightdt = - 5{{\left {{t_0} - 2} \right}^2} + 30\left {{t_0} - 2} \right} \. Vậy tổng quãng đường mà vật A đi được từ D đến khi gặp nhau là \\displaystyle - 5{\left {{t_0} - 2} \right^2} + 30\left {{t_0} - 2} \right + 300\. - Xét vật B Vì vật B chuyển động nhanh dần với gia tốc \\displaystyle 50m/{s^2}\ nên vận tốc của B là \\displaystyle vt = 50t + C\. Vì lúc bắt đầu khởi hành B có vận tốc bằng 0 nên \\displaystyle C = 0\. Vậy từ D đến khi gặp A, vật B đi được \\displaystyle \int\limits_0^{{t_0}} {50tdt} = 25t_0^2\.Hai vật gặp nhau khi quảng đường đi được như nhau Trường hợp 1 Gặp nhau khi \\displaystyle {t_0} \le 2\, lúc này vât A vẫn đang chuyển động đều, tương đương với phương trình \\displaystyle 25t_0^2 = 30 \times 8 + \int\limits_0^{{t_0}} {30dt} \Leftrightarrow 25t_0^2 - 30{t_0} - 240 = 0\ \\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_0} = > 2\\{t_0} = - 2\, ta có phương trình \\displaystyle 25t_0^2 = - 5{{t_0} - 2^2} + 30{t_0} - 2 + 300\ \\displaystyle \Leftrightarrow x = = \frac{{11}}{3}\. Vậy hai vật thể gặp nhau sau s kể từ khi vật B khởi hành. - Vật A dừng lại khi \\displaystyle vt = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3\s kể từ khi bắt A bắt đầu chuyển động chậm dần đều, tương đương với 5s kể từ khi vật B chuyển động. Vậy khi hai vật gặp nhau, vật A vẫn chưa dừng lại do \\displaystyle 5 > Ví dụ 3 Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \\displaystyle {v_1}t = 7t\;m/s\. Đi được 5s người lái xe gặp chướng ngại vật nên phải phanh gấp cho xe chạy chậm dần đều với gia tốc \\displaystyle - 70\;m/{s^2}\. Tính quãng đường đi được của o tô từ lúc chuyển bánh đến khi dừng hẳn. Hướng dẫn Chiếc ô tô thực hiện hai chặng Chặng 1 Chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \\displaystyle {v_1}t = 7t\;m/s\ trong 5s, do đó quãng đường chặng 1 của ô tô là \\displaystyle {S_1} = \int\limits_0^5 {7tdt} = m. Lúc này, ô tô đang đạt vận tốc \\displaystyle {v_1}5 = 7 \times 5 = 35\ m/s. Chặng 2 Ô tô chuyển động với gia tốc \\displaystyle - 70\;m/{s^2}\ nên phương trình vận tốc của xe là \\displaystyle {v_2}t = \int { - 70dt = - 70t + C} \. Khi \\displaystyle t = 0\ của chặng 2 thì xe có vận tốc \\displaystyle {v_1}5 = 35\ nên \\displaystyle {v_2}0 = 35 \Leftrightarrow C = 35\. Vậy \\displaystyle {v_2}t = - 70t + 35\. Ô tô dừng hẳn khi \\displaystyle {v_2}t = 0 \Leftrightarrow t = Vậy quãng đường ô tô di chuyển trong chặng 2 là \\displaystyle {S_2} = \int\limits_0^{ {\left { - 70t + 35} \rightdt} = \frac{{35}}{4} = mVậy tổng quãng đường ô tô đi được từ khi khởi hành đến khi dừng hẳn là \\displaystyle S = {S_1} + {S_2} = + = m Ví dụ 4 Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian \\displaystyle vt = 3t + 2\ m/s. Tại thời điểm \\displaystyle t = 2\ s vật đã đi được quãng đường là \\displaystyle 10\ m. Hỏi tại thời điểm \\displaystyle t = 30\ s thì vật đã đi được quãng đường bao nhiêu? Hướng dẫn Cách 1 Quãng đường mà vật đã đi được tại thời điểm \\displaystyle t = 30\ bằng tổng quãng đường vật đã đi được tài thời điểm \\displaystyle t = 2\ với quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian \\displaystyle t = 2\ đến \\displaystyle t = 30\. Mà quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian \\displaystyle t = 2\ đến \\displaystyle t = 30\ được tính bởi \\displaystyle \int\limits_2^{30} {vtdt} = \int\limits_2^{30} {\left {3t + 2} \rightdt = 1400} \ m. Vậy tại thời điểm \\displaystyle t = 30\s vật đã đi được quãng đường 10 + 1400 = 1410 m. Cách 2 Phương trình quãng đường là \\displaystyle St = \int {vtdt = \int {3t + 2dt = \frac{3}{2}{t^2} + 2t + C} } \. Do \\displaystyle t = 2,S = 10 \Rightarrow C = 0\. Vậy \\displaystyle vt = \frac{3}{2}{t^2} + 2t\ . Tại thời điểm \\displaystyle t = 30\ có \\displaystyle S30 = 1410\ m Ví dụ 5 Một vật đang chuyển động với vận tốc \\displaystyle 10\m/s thì tăng tốc với gia tốc \\displaystyle at = {t^2} + t\ \\displaystyle m/{s^2}\. Hỏi sau \\displaystyle 10\s kể từ thời điểm tăng tốc, vật đã di chuyển được quãng đường bao nhiêu? Hướng dẫn Ta có \\displaystyle vt = \int {{t^2} + tdt = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{{t^2}}}{2} + C} \. Khi \\displaystyle t = 0\ thì \\displaystyle v = 10\ nên \\displaystyle C = 10\. Vậy \\displaystyle vt = \frac{1}{3}{t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 10\ . Quãng đường đi được của vật thể sau 10 s từ khi tăng tốc là \\displaystyle S = \int\limits_0^{10} {\left {\frac{1}{3}{t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 10} \rightdt} = 1100\ m Ví dụ 6 Một vật đang chuyển động với vận tốc \\displaystyle 10\ m/s thì giảm tốc với gia tốc \\displaystyle at = 4 - t\;m/{s^2}\. Tính quãng vật đi được thi khi thay đổi chuyển động đến khi vật tốc đạt giá trị lớn nhất?Hướng dẫn Vận tốc của chuyển động là \\displaystyle vt = \int {4 - tdt = 4t - \frac{{{t^2}}}{2} + C} \. Do khi \\displaystyle t = 0\ thì \\displaystyle v = 10\ nên \\displaystyle C = 10\. Vậy \\displaystyle vt = 4t - \frac{{{t^2}}}{2} + 10\ Khi vấn tốc đạt giá trị lớn nhất, \\displaystyle vt\ max \\displaystyle \Leftrightarrow t = 4\ . Vậy quãng đường cần tính là \\displaystyle S = \int\limits_0^4 {\left {4t - \frac{{{t^2}}}{2} + 10} \rightdt} = m Bài viết gợi ý Ứng dụng tích phân ngoài việc tính thể tích hình phẳng, thể tích vật thể, thì cũng có trong nhiều ứng dụng khác, thường gặp nhất là bài toán tính quãng đường, đã từng thi trong đề đại học. Bài toán tính quãng đường, vân tốc, thời gian Với những ai thi khối A, A1, có môn vật lý, thì bài toán này rất dễ vì trong vật lý học nhiều rồi. Chúng ta cần nhớ mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc, và gia tốc. Cho vận tốc biến thiên theo thời gian [TEX]vt[/TEX] Thì ta có quãng đường chuyển động được tính bởi [tex]\int vtdt=st+C[/tex] Còn gia tốc là đạo hàm của vận tốc [tex]at=v't[/tex] hay [tex]\int atdt=vt+C[/tex] Nhớ là khi lấy nguyên hàm xong cộng C nhé. Dựa vào dữ kiện để tìm nốt ra C. Thiếu C là đi chân lạnh toát luôn Mẹo để nhớ sự liên hệ này cũng đơn giản. Ta đã biết s= với chuyển động đều từ ngày xưa. Nên chỉ có s và v liên quan đến nhau trong công thức tích phân đã nêu này, còn gia tốc không liên quan đến s. Ví dụ Lời giải Dạng bài vận tốc cho bởi đồ thị như thế này đã từng xuất hiện trong đề thi năm 2017. Với dạng đồ thị như thế này, thì vấn đề là ta phải tìm được hàm số của đồ thị đó. Ta có đồ thị parabol là của hàm bậc 2, có dạng [tex]y=at^2+bt+c[/tex] Do parabol đi qua O0;0 nên c=0 Parabol đi qua [tex]I\frac{1}{2};8[/tex] và 1;0 nên thay tọa độ vào pt phải thỏa mãn. Vậy [tex]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b=8\\ a+b=0 \end{matrix}\right.[/tex] a=-32,b=32 Vậy pt của parabol, hay hàm vận tốc là [tex]vt=-32t^2+32t[/tex] vậy quãng đường người đó chạy trong 1h là [tex]\int_{0}^{1}-32t^2+32tdt=\frac{16}{3}[/tex] 1 dạng khác mà có thể gặp đó là Tính giá trị trung bình của một đại lượng biến thiên theo thời gian trong 1 khoảng thời gian nhất định. Các đại lượng có thể là nhiệt độ, điện áp.....Với dạng bài này thì lưu ý công thức tính giá trị trung bình sau gọi ft là hàm biểu diễn giá trị của đại lượng cần tính, ta có giá trị trung bình trong khoảng thời gian T [tex]\frac{1}{T}\int_{0}^{T}ftdt[/tex][tex][/tex] Công thức này tương tự như tính giá trị trung bình của hàm rời rạc nên rất dễ hiểu. Ví dụ 3 số 1;2;3 ta có giá trị trung bình của nó bằng tổng giá trị các phần tử, chia cho số lượng phần tửsố lượng mẫu 1+2+3/3=2 Với phép tính tích phân, cũng là tính tổng giá trị tất cả các phần tử [TEX]\int_{0}^{T}ftdt[/TEX]. Vậy sau khi lấy tổng ta phải chia cho số lương mẫu, đó là T. Vì vậy mà thu được công thức trên. Ví dụ Lời giải Đầu tiên ta tính tổng giá trị nhiệt độ bằng phép tích phân [tex]\int_{8}^{20}50+14sin\frac{\pi t}{12}dt=600-\frac{168}{\pi }[/tex] Ta đã lấy tổng này từ các mẫu liên tục trong T=20-8=12h, vậy giá trị trung bình là [tex]600-\frac{168}{\pi }/12=50-\frac{144}{\pi }[/tex] Dạng tiếp theo mà mình nghĩ 70-80% là sẽ cho, đó là Ứng dụng đạo hàm để tìm min max cho bài toán thực tế tìm giá trị chi phí nhỏ nhất, độ dài ngắn nhất. Thì mình đánh giá dạng này không khó, chỉ cần kiên trì đọc đề rồi biểu diễn các đại lượng quy về chỉ có 1 ẩn để khảo sát. Ví dụ năm 2018 đã cho Lời giải Gọi chiều rộng là x=> Chiều dài là 2x luôn . Còn chiều cao cũng phải theo x, còn dữ kiện [TEX] dùng, vậy dùng nốt. Lưu ý bể không nắp nên chỉ có 4 mặt bên chia làm 2 cặp có S bằng nhau, và 1 mặt đáy. Tạm gọi chiều cao là h. Lấy tổng diện tích ta được [tex] Vậy thể tích của bể là [tex]fx= Tới đây tìm max fx bằng sử dụng đạo hàm là tìm ra được đáp án D. Tải về bản PDF Tải về bản PDF Vận tốc được định nghĩa là tốc độ của một vật theo một hướng xác định.[1] Trong nhiều trường hợp, để tìm vận tốc chúng ta sẽ dùng phương trình v = s/t, trong đó v là vận tốc, s là tổng quãng đường dịch chuyển của vật từ vị trí ban đầu, và t là thời gian để vật đi hết quãng đường đó. Tuy nhiên, về lý thuyết công thức này chỉ cho vận tốc trung bình của vật trên quãng đường. Bằng các phép tính chúng ta có thể tính được vận tốc của vật tại thời điểm bất kì trên quãng đường. Đó là vận tốc tức thời và được định nghĩa bởi phương trình v = ds/dt, hoặc nói cách khác, đó là đạo hàm của phương trình tính vận tốc trung bình.[2] 1 Bắt đầu với phương trình tính vận tốc theo khoảng cách dịch chuyển. Để tìm vận tốc tức thời, trước tiên chúng ta phải có phương trình cho biết vị trí của vật theo khoảng cách dịch chuyển tại một thời điểm bất kì. Nghĩa là phương trình phải có duy nhất một biến s ở một vế và biến t ở vế còn lại không nhất thiết chỉ có duy nhất một biến, giống như saus = + 10t + 4 Trong phương trình này, các biến số là s = khoảng cách dịch chuyển. Khoảng cách vật chuyển động từ vị trí ban đầu. Ví dụ, nếu một vật đi được 10 mét về phía trước và 7 mét về phía sau, tổng khoảng cách dịch chuyển của nó là 10 - 7 = 3 mét không phải 10 + 7 = 17m. t = thời gian. Biến này đơn giản không cần giải thích, thường được tính bằng giây. 2 Lấy đạo hàm của phương trình. Đạo hàm của phương trình là một phương trình khác cho biết độ dốc của quãng đường tại thời điểm cụ thể. Để tìm đạo hàm của phương trình theo khoảng cách dịch chuyển, lấy vi phân của hàm số theo nguyên tắc chung sau để tính đạo hàm Nếu y = a*xn, Đạo hàm = a*n*xn-1. Nguyên tắc này áp dụng cho mọi số hạng ở phía "t" của phương trình. Nói một cách khác, bắt đầu lấy vi phân từ trái qua phải ở phía "t" của phương trình. Mỗi khi gặp biến "t", bạn trừ số mũ cho 1 và nhân toàn số hạng cho số mũ ban đầu. Bất kì số hạng hằng số nào các số hạng không có "t" sẽ biến mất vì chúng được nhân cho 0. Quá trình này thật ra không khó như bạn nghĩ - hãy lấy phương trình trong bước trên làm ví dụs = + 10t + 42 + 110t1 - 1 + 04t0-3t1 + 10t0-3t + 10 3 Thay "s" bằng "ds/dt". Để thể hiện phương trình mới là đạo hàm của phương bình ban đầu, chúng ta thay "s" bằng ký hiệu "ds/dt". Về lý thuyết, ký hiệu này là "đạo hàm của s theo t". Một cách đơn giản hơn để hiểu ký hiệu này, ds/dt chính là độ dốc của một điểm bất kì trong phương trình ban đầu. Ví dụ, để tìm độ dốc của quãng đường được mô tả bởi phương trình s = + 10t + 4 tại thời điểm t = 5, chúng ta thay "5" vào t trong đạo hàm của phương trình. Trong ví dụ trên, đạo hàm của phương trình sẽ như sauds/dt = -3t + 10 4 Thay một giá trị t vào phương trình mới để tìm vận tốc tức thời. Bây giờ chúng ta đã có phương trình đạo hàm, việc tìm vận tốc tức thời tại một thời điểm bất kì rất dễ. Tất cả những gì bạn cần làm là chọn một giá trị t và thay vào phương trình đạo hàm. Ví dụ, nếu muốn tìm vận tốc tức thời tại t = 5, chúng ta chỉ cần thay "5" vào t trong phương trình đạo hàm ds/dt = -3t + 10. Chúng ta sẽ giải phương trình như sauds/dt = -3t + 10ds/dt = -35 + 10ds/dt = -15 + 10 = -5 mét/giây Lưu ý là chúng ta sử dụng đơn vị "mét/giây" nói trên. Vì chúng ta đang giải bài toán với khoảng cách dịch chuyển theo mét và thời gian theo giây, mà vận tốc chính là khoảng cách dịch chuyển theo thời gian nên đơn vị này là phù hợp. Quảng cáo 1 Vẽ đồ thị quãng đường chuyển động của vật theo thời gian. Trong phần trên, chúng ta nói rằng đạo hàm cũng là một công thức mà cho chúng ta tìm độ dốc tại bất kì điểm nào của phương trình được lấy đạo hàm. Thật ra, nếu bạn biểu diễn quãng đường chuyển động của vật trên đồ thị, độ dốc của đồ thị tại một điểm bất kì chính là vận tốc tức thời của vật tại điểm đó. Để vẽ đồ thị quãng đường chuyển động, bạn sử dụng trục x làm thời gian và trục y làm khoảng cách dịch chuyển. Sau đó bạn xác định một số điểm bằng cách thay các giá trị của t vào phương trình chuyển động, kết quả nhận được là các giá trị s, và bạn chấm các điểm t,s x,y trên đồ thị. Lưu ý là đồ thị có thể mở rộng xuống dưới trục x. Nếu đường biểu diễn chuyển động của vật đi xuống dưới trục x, điều này có nghĩa vật đó di chuyển thụt lùi so với vị trí ban đầu. Nói chung, đồ thị sẽ không mở rộng về phía sau trục y - chúng ta thường không đo vận tốc của vật thể di chuyển lùi theo thời gian! 2 Chọn một điểm P và một điểm Q nằm gần điểm P trên đồ thị. Để tìm độ dốc của đồ thị tại điểm P, chúng ta sử dụng kỹ thuật "tìm giới hạn". Tìm giới hạn nghĩa là lấy hai điểm P và Q một điểm nằm gần P trên đường cong và tìm độ dốc của đường nối hai điểm đó, lặp đi lặp lại quá trình này khi khoảng cách giữa P và Q thu ngắn dần. Giả sử quãng đường dịch chuyển có các điểm 1;3 và 4;7. Trong trường hợp này, nếu chúng ta muốn tìm độ dốc tại 1;3 thì có thể đặt 1;3 = P và 4;7 = Q. 3 Tìm độ dốc giữa P và Q. Độ dốc giữa P và Q là độ chênh lệch của các giá trị y cho P và Q trên độ chênh lệch của các giá trị x cho P và Q. Nói một cách khác, H = yQ - yP/xQ - xP, trong đó H là độ dốc giữa hai điểm. Trong ví dụ này, độ dốc giữa P và Q làH = yQ - yP/xQ - xPH = 7 - 3/4 - 1H = 4/3 = 1,33 4 Lặp lại nhiều lần bằng cách di chuyển Q đến gần P hơn. Mục tiêu là làm cho khoảng cách giữa P và Q nhỏ dần đến khi chúng tiến sát thành một điểm duy nhất. Khoảng cách giữa P và Q càng nhỏ thì độ dốc của đoạn thẳng vô cùng nhỏ đó sẽ càng tiến gần đến độ dốc tại điểm P. Lặp lại vài lần cho phương trình ví dụ của chúng ta, sử dụng các điểm 2;4,8, 1,5;3,95 và 1,25;3,49 cho Q và tọa độ ban đầu của P là 1;3Q = 2;4,8 H = 4,8 - 3/2 - 1H = 1,8/1 = 1,8Q = 1,5;3,95 H = 3,95 - 3/1,5 - 1H = 0,95/0,5 = 1,9Q = 1,25;3,49 H = 3,49 - 3/1,25 - 1H = 0,49/0,25 = 1,96 5 Ước lượng độ dốc của đoạn thẳng vô cùng nhỏ trên đường cong đồ thị. Khi Q tiến ngày càng gần hơn đến P, H sẽ dần dần tiến gần hơn đến độ dốc tại P. Cuối cùng, tại một đoạn thẳng vô cùng nhỏ, H sẽ là độ dốc tại P. Vì chúng ta không thể đo hay tính chiều dài một đoạn thẳng vô cùng nhỏ, nên chỉ ước lượng độ dốc tại P khi giá trị đó lộ ra rõ từ những điểm chúng ta tính. Trong ví dụ trên, khi dịch chuyển H tiến gần hơn đến P, chúng ta có các giá trị của H là 1,8; 1,9 và 1,96. Vì những số này đang tiến gần đến 2 nên chúng ta có thể nói 2 là giá trị gần đúng của độ dốc tại P. Nhớ rằng độ dốc tại một điểm bất kì trên đồ thị là đạo hàm của phương trình đồ thị tại điểm đó. Vì đồ thị biểu diễn khoảng cách dịch chuyển của vật theo thời gian, như chúng ta thấy trong phần trên, nên vận tốc tức thời của nó tại một điểm bất kì chính là đạo hàm của khoảng cách dịch chuyển của vật đó tại điểm đề cập, chúng ta có thể nói 2 mét/giây là giá trị ước lượng gần đúng của vận tốc tức thời khi t = 1. Quảng cáo 1 Tìm vận tốc tức thời khi t = 1 với phương trình quãng đường dịch chuyển là s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9. Giống ví dụ trong phần đầu nhưng đây là phương trình bậc 3 thay vì bậc 2, vì vậy chúng ta có thể giải bài toán theo cách tương tự. Đầu tiên, lấy đạo hàm của phương trìnhs = 5t3 - 3t2 + 2t + 9s = 35t3 - 1 - 23t2 - 1 + 12t1 - 1 + 09t0 - 115t2 - 6t1 + 2t015t2 - 6t + 2 Sau đó chúng ta thay giá trị của t 4 vàos = 15t2 - 6t + 21542 - 64 + 21516 - 64 + 2240 - 24 + 2 = 22 mét/giây 2 Sử dụng phương pháp ước lượng bằng đồ thị để tìm vận tốc tức thời tại 1;3 cho phương trình quãng đường dịch chuyển s = 4t2 - t. Đối với bài toán này, chúng ta dùng tọa độ 1;3 làm điểm P, nhưng phải tìm các điểm Q khác nằm gần nó. Sau đó, tất cả những gì chúng ta cần làm là tìm các giá trị H và suy ra giá trị ước lượng. Đầu tiên, chúng ta tìm các điểm Q khi t = 2; 1,5; 1,1 và 1, = 4t2 - tt = 2 s = 422 - 244 - 2 = 16 - 2 = 14, do đó Q = 2;14t = 1,5 s = 41,52 - 1,542,25 – 1,5 = 9 – 1,5 = 7,5, do đó Q = 1,5;7,5t = 1,1 s = 41,12 - 1,141,21 – 1,1 = 4,84 – 1,1 = 3,74, do đó Q = 1,1;3,74t = 1,01 s = 41,012 - 1,0141,0201 – 1,01 = 4,0804 – 1,01 = 3,0704, do đó Q = 1,01;3,0704 Tiếp theo chúng ta sẽ nhận được các giá trị HQ = 2;14 H = 14 - 3/2 - 1H = 11/1 = 11Q = 1,5;7,5 H = 7,5 - 3/1,5 - 1H = 4,5/0,5 = 9Q = 1,1;3,74 H = 3,74 - 3/1,1 - 1H = 0,74/0,1 = 7,3Q = 1,01;3,0704 H = 3,0704 - 3/1,01 - 1H = 0,0704/0,01 = 7,04 Vì các giá trị H dường như tiến gần đến 7, chúng ta có thể nói rằng 7 mét/giây là giá trị ước lượng gần đúng của vận tốc tức thời tại tọa độ 1;3. Quảng cáo Lời khuyên Để tìm gia tốc sự thay đổi vận tốc theo thời gian, sử dụng phương pháp trong phần một để lấy đạo hàm của phương trình quãng đường dịch chuyển. Sau đó lấy đạo hàm một lần nữa cho phương trình đạo hàm vừa tìm được. Kết quả là bạn có phương trình tìm gia tốc tại một thời điểm xác định - tất cả những gì bạn phải làm là thay giá trị thời gian vào. Phương trình thể hiện mối tương quan giữa Y khoảng cách dịch chuyển với X thời gian có thể rất đơn giản, như Y = 6x + 3. Trong trường hợp này, độ dốc là hằng số và không cần thiết phải lấy đạo hàm để tính độ dốc, nghĩa là nó tuân theo dạng phương trình cơ bản Y = mx + b cho đồ thị đường thẳng tuyến tính, tức độ dốc bằng 6. Quãng đường dịch chuyển cũng giống khoảng cách nhưng có hướng, do đó nó là một đại lượng vectơ, và tốc độ là đại lượng vô hướng. Quãng đường dịch chuyển có thể mang giá trị âm, trong khi khoảng cách chỉ mang giá trị dương. Tham khảo Về bài wikiHow này Trang này đã được đọc lần. Bài viết này đã giúp ích cho bạn? Một hôm, có một em học sinh chặn tôi lại và bất chợt hỏi “Thưa Thầy, rốt cuộc thì đạo hàm là gì ạ?” Tôi cảm thấy hơi lúng túng bèn trả lời em học sinh đó một cách vô thưởng vô phạt “À, trong tiếng hán thì Đạo có nghĩa là con đường, thế nên đạo hàm là khái niệm ám chỉ con đường vận động và biến đổi của hàm số…“. Về nhà nghĩ lại thì thấy trả lời kiểu đó cũng như không trả lời, vậy nên tôi quyết định viết bài này. Nếu phải tóm tắt lại lịch sử phát triển hơn 200 năm của đạo hàm chỉ trong một câu thì tôi sẽ trích dẫn lời của tác giả Grabiner “Đạo hàm đầu tiên được sử dụng như công cụ, sau đó mới được phát minh, tiếp nữa là được mở rộng và phát triển, cuối cùng mới được định nghĩa.” Thế nghĩa là thế nào? Nghĩa là trước khi được phát minh ra, người ta đã biết cách sử dụng nó như một công cụ đầy hiệu quả. Để hiểu đầu cua tai nheo thì chúng ta phải quay trở về những năm 1630 để tìm hiểu một phương pháp tìm cực trị mới mẻ mà Fermat đã nghĩ ra Ông xét bài toán sau Cho trước một đoạn thẳng, hãy chia nó thành 2 phần sao cho tích của 2 phần này là lớn nhất Đáp án của bài toán này thì người ta đã biết từ trước tích lớn nhất khi ta chia đoạn thẳng thành 2 phần bằng nhau nhưng cách làm của Fermat thì lại rất mới. Gọi chiều dài đoạn ban đầu là B, chiều dài đoạn thứ nhất là A thì chiều dài đoạn thứ hai sẽ làB-A và tích của 2 phần là. Nhà toán học Hi Lạp Pappus ở Alexandria trong một tác phẩm của mình có đưa ra một nguyên lý “Một bài toán nào đó nói chung có 2 nghiệm thì nó sẽ đạt được giá trị cực đại hoặc cực tiểu trong trường hợp chỉ có một nghiệm”. Tôi sẽ dành một chút thời gian để minh họa nguyên lí này của Pappus bởi vì đây là một nguyên lí rất thú vị và có ích Xét bài toán đơn giản sau Từ điểm A nằm ngoài đường thẳng d cho trước, hãy xác định điểm N trên d sao cho độ dài đoạn AN là nhỏ nhất? Bây giờ chúng ta hãy giả vờ khờ khạo không biết điểm N cần tìm ở đâu, lúc này hãy giả sử chúng ta tìm được một điểm M nào đó nằm bên phải thỏa mãn yêu cầu đề bài tức là làm cho đoạn AM nhỏ nhất. Khi đó, nói chung luôn có một điểm M’ nằm bên trái để cho AM = AM’. Vì thế nếu như M là nghiệm của bài toán này thì M’ cũng phải là nghiệm và bài toán sẽ luôn có 2 nghiệm. Nguyên lý Pappus phát biểu rằng, giá trị cực tiểu sẽ đạt được trong trường hợp chỉ có một nghiệm, mà muốn vậy thì . Điều này chỉ xảy ra khi M chính là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống d và đây cũng chính là đáp án của bài toán này. Ví dụ này mặc dù khá tầm thường nhưng nguyên lí của Pappus thì lại rất hữu ích trong nhiều trường hợp tìm cực trị khác nhau. Nào bây giờ hãy trở lại với Fermat Ông giả sử rằng bài toán trên còn có thêm một đáp số thứ hai nữa tức là có một cách chia khác để tích hai đoạn lớn nhất, với đáp số thứ hai này chúng ta sẽ gọi đoạn thứ nhất là khi đó đoạn còn lại là . Tích của chúng lúc này bằng. Bởi vì giá trị lớn nhất phải là duy nhất cho nên hai đáp số trên đều phải cho ra tích giống nhau, nghĩa là. Rút gọn 2 vế cho E ta được Mặt khác theo nguyên ly Pappus thì 2 nghiệm này trong trường hợp đạt giá trị lớn nhất phải trở nên bằng nhau nên nói chung E không hề tồn tại. Thế là Fermat cho E = 0, từ đó ông thu được kết quả , mà đây cũng chính là đáp số của bài toán trên. Cách làm của Fermat có cái gì đó vừa độc đáo vừa kì quái, ông giả sử rằng bài toán có 2 nghiệm và chúng khác nhau một lượng E. Lúc đầu ông xem E khác 0 và rút gọn E ở hai vế, sau đó ông ta vận dụng nguyên lí Pappus và nói rằng muốn đạt được cực trị thì nói chung E không nên tồn tại và thế là cho E = 0 cuối cùng lại thu được đáp số chính xác. Nếu bạn thấy cách làm này thật quái lạ thì bạn cũng giống với đa số các nhà toán học thời kì đó. còn với thì hiện tại khi mà chúng ta đã học về đạo hàm tôi sẽ chỉ rõ để các bạn hiểu được rốt cuộc thì Fermat đã làm cái gì để giải được bài toán ở trên. Bài toán mà Fermat giải là xác định để hàm số lớn nhất, và việc Fermat xem sau đó rút gọn biểu thức cho rồi cho nếu nói theo ngôn ngữ ngày nay là ông đã sử dụng đặc trưng sau đây của hàm số tại điểm cực trị của nó Nếu bạn đã học lớp 12 thì chắc đã được nghe đến định lí Fermat về điều kiện cần để hàm số đạt cực trị rồi chứ. Vâng, chính nó đấy! Nhưng vào thời điểm này Fermat chưa biết đạo hàm là gì đâu, dù vậy có một sự kiện lý thú là Fermat đã ứng dụng phương pháp này vào các bài toán vật lí và thu được những kết quả rất phù hợp. Cụ thể ông đã áp dụng trong quang học Fermat phát biểu một nguyên lý về cách “hành xử” của ánh sáng nguyên lý tác dụng tối thiểu “Ánh sáng luôn đi theo con đường nhanh nhất”. Theo nguyên lý này và khảo sát đường đi của ánh sáng ngang qua bề mặt phân cách của hai môi trường trong suốt đồng tính ông đã tìm con đường nhanh nhất của ánh sáng bằng phương pháp mới ở trên , chính là con đường tuân theo định luật Snell về khúc xạ vốn đã tìm ra trước đó bằng thực nghiệm/ Nếu có thời gian bạn hãy đọc thêm bài viết “Tự nhiên là nhà toán học” của tôi để hiểu thêm nhé. Giai đoạn tiếp theo là thời điểm đạo hàm được phát minh. Đạo hàm ra đời lấy cảm hứng từ hai nguồn động lực chính. Động lực này đến từ nhu cầu phải giải quyết hai bài toán quan trong trong hai lĩnh vực khác nhau. Một đến từ hình học đó là bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong và một đến từ vật lí là bài toán xác định vận tốc tức thời của chất điểm. Cùng tìm hiểu nhé… Nếu các bạn đã học đạo hàm rồi thì sẽ thấy nó được định nghĩa như sau Đạo hàm của hàm tại được xác định bằng giới hạn Và nếu bạn đặt thì và đạo hàm được viết lại ở một dạng khác tương đương Trong một số sách giáo khoa người ta có thể dùng kí hiệu thay cho h Vấn đề là tại sao nó lại được định nghĩa như thế? Tôi sẽ trả lời các bạn bằng cách chỉ ra cách mà người ta tìm ra để xác định được tiếp tuyến của một đường cong. Xét đường cong có phương trình , đầu tiên chúng ta sẽ vẽ một đường thẳng cắt ngang đường cong này tại 2 điểm P và Q Chắc các bạn cũng biết là để viết phương trình một đường thẳng chúng ta cần xác định được hệ số góc của nó. Kiến thức lớp 7 nói rằng hệ số góc của đường thẳng là tan của góc tạo bởi đường thẳng đó với trục hoành Ox. Chẳng hạn, đối với đường thẳng PQ ở trên thì hệ số góc của nó sẽ là Bây giờ chẳng hạn ta muốn xác định tiếp tuyến của đường cong tại điểm P. Làm thế nào để đường thẳng PQ biến thành tiếp tuyến đây, các nhà toán học đã nghĩ ra một phương án thú vị Họ cho điểm Q tiến dần về điểm P, lúc đó thì rõ ràng đường thẳng PQ từ chỗ cắt đường cong tại 2 điểm P, Q nay sẽ chỉ còn cắt tại một điểm P và thế là “trở thành” tiếp tuyến còn gì . Mọi người có đồng ý là khi đồng nghĩa với việc không nào. Như vậy bằng cách cho trong công thức tính hệ số góc của đường PQ ở trên chúng ta sẽ thu được hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. Ngặt nỗi, thời điểm đó người ta chưa phát minh ra lý thuyết về giới hạn sau này đó là công lao của Cauchy. Và thế là mọi người bèn bắt chước theo cách mà Fermat đã làm đầu tiên họ cứ xem h là khác 0 rồi tìm cách rút gọn nó đi ở tử và mẫu, sau đó rồi thì xem h bằng 0 rồi triệt tiêu nó đi… Cách giải quyết kì lạ này lại thu được những thành công đến không ngờ, người ta đã giải quyết được bài toán xác định tiếp tuyến “khó nhằn” trước đó. Thế nhưng rất nhiều người khác gào lên bất mãn, thế là thế quái nào, sao lúc đầu xem h là khác 0 để thoải mái rút gọn rồi sau đó lại cho nó bằng 0, vậy rút cuộc nó là cái loại gì? Những người phát minh ra phương pháp này gọi h là “vô cùng bé”, có người còn đặt cho nó một cái tên khá là ma quái “bóng ma của những đại lượng đã mất”. Câu hỏi này đã ám ảnh giới toán học rất lâu, mãi cho tới sau này khi Cauchy xây dựng hoàn chỉnh lý thuyết giới hạn thì bức màn bí ẩn mới được vén lên rõ ràng. Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến việc chúng ta cần làm là cho h tiến dần về 0 tiến dần về nghĩa là càng ngày càng gần 0 nhưng không bao giờ bằng 0 nhé và quan sát xem tỉ số đang tiến dần về giá trị nào. Cái giá trị mà tỉ số này đang “tiến về” chính là thứ chúng ta muốn tìm. Tất nhiên là để tìm giới hạn này cần những kĩ thuật phù hợp, và cách làm của Fermat ở một chừng mực nào đó có thể xem là “xài được”. Newton và Leibniz được lịch sử công nhận là độc lập với nhau phát minh ra giải tích và khái niệm đạo hàm nói riêng. Leibniz xuất phát từ việc giải quyết bài toán tiếp tuyến đã đưa ra khái niệm “vi phân” và xây dựng đạo hàm theo khái niệm này thật tiếc vì thời lượng bài viết không cho phép tôi nói chi tiết thêm về cách xây dựng của Leibniz. Trong khi đó Newton phát minh ra đạo hàm trong một hoàn cảnh rất đặc thù ông phát minh ra giải tích chỉ như sáng tạo ra công cụ thích hợp để phục vụ cho các tính toán trong một lý thuyết vĩ đại mà sau này đã đặt nền móng cho cơ học cổ điển Thuyết vạn vật hấp dẫn. Đạo hàm được Newton phát minh ra giúp ông giải quyết được bài toán xác định vận tốc, gia tốc chất điểm. Và ở đây ông đã cho đạo hàm một ý nghĩa tổng quát và mang trong mình một sức mạnh to lớn không thể tưởng tượng Đạo hàm cho chúng ta biết được tốc độ biến thiên tốc độ thay đổi của một hàm số. Các bạn có biết được điều này quan trọng thế nào không? Với đạo hàm, bất cứ ở đâu có sự thay đổi, ở đó chúng ta sẽ biết được nó thay đổi như thế nào liệu đại lượng đó đang tăng hay đang giảm hay đang không thay đổi, nếu là đang tăng vậy tăng nhanh hay tăng chậm… Vận tốc đặc trưng cho sự thay đổi của quãng đường đi được, gia tốc là đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời gian vậy thì có gì là khó hiểu không khi trong chương trình vật lí người ta nói với các bạn rằng vận tốc là đạo hàm của hàm quãng đường theo thời gian, còn gia tốc là đạo hàm của hàm vận tốc. Nhiều bạn chắc còn muốn hỏi thêm vì sao đạo hàm là có được ý nghĩa thú vị này? Thật ra thì không khó hiểu lắm đâu Chẳng hạn với một hàm số bất kì Khi có sự thay đổi xảy ra, cụ thể là tăng lên một lượng h tức là trở thành . Và hàm số sẽ thay đổi tương ứng từ thành . Tức là hàm số y đã thay đổi một lượng là tương ứng với khi biến x tăng một lượng là h. Như vậy tốc độ thay đổi của y theo x sẽ là tỉ số quen thuộc . Tất nhiên tỉ số này chỉ mới cho ta biết tốc độ thay đổi trung bình của hàm số khi biến x tăng từ mà thôi. Việc cho h tiến dần tới 0 sẽ giúp ta xác định được tốc độ biến thiên tức thời ngay tại thời điểm . Và đó cũng chính là đạo hàm! Thật là nhân văn phải không các bạn, mỗi khi gặp những trắc trở khó khăn biến động lớn lao trong cuộc đời làm chúng ta mất đi niềm tin vào cuộc sống. Nhiều người đã tìm được nguồn an ủi, hi vọng và sự tin tưởng vào “đạo”, vào những đức tin chúng ta tín ngưỡng riêng bản thân tôi rất có cảm tình với đạo phật. Cũng như vậy, mỗi khi nhà toán học phải đối diện với các hàm số đa dạng và phức tạp. Lo sợ trước sự biến thiên, thay đổi khó lường của chúng… họ tìm được niềm tin vững chắc bởi vì “đạo hàm” chưa bao giờ làm họ thất vọng. Còn với mọi người trong chúng ta, nếu bạn là nhà kinh tế và muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra những quyết định đầu tư chứng khoán đúng đắn. Nếu bạn là nhà hoạch định chiến lược và muốn có những thông tin liên quan đến tốc độ gia tăng dân số ở từng vùng miền. Nếu bạn là nhà hóa học và muốn xác định được tốc độ phản ứng hóa học nào đó, hay nhà vật lí muốn tính toán vận tốc, gia tốc của một chuyển động… Đạo hàm sẽ là thứ mà chúng ta cần, rất đơn giản đầu tiên bạn cần có hàm số mô tả đại lượng đang được quan tâm, và sau đó chỉ cần đạo hàm nó. Còn tính đạo hàm như thế nào thì Sgk đã chỉ dẫn rõ ràng và chi tiết. Để kết thúc câu chuyện tôi sẽ kể cho các bạn nghe về sự thật đằng sau việc công bố công trình vĩ đại của Newton Newton có một thói quen kì lạ, ông không thích công bố những công trình phát minh của mình mặc dù ông biết rõ sự lớn lao của nó. Một hôm nhà thiên văn học Edmund Halley đến thăm Newton lúc bấy giờ là viện sĩ nổi tiếng của viện hàn lâm khoa học hoàng gia Anh để khoe với ông về một công trình tâm đắc của mình. Cụ thể là sau một thời gian miệt mài quan sát thiên văn Halley đã phát hiện ra được một sao chổi rất đặc biệt và thậm chí còn dự đoán được chu kì quỹ đạo của nó, ông tính được rằng 75 năm sau nó sẽ xuất hiện thêm lần nữa. Trái với sự chờ mong của Halley, Newton không thốt lên những lời trầm trồ khen ngợi, thay vào đó ông tạt cho Halley một gáo nước lạnh ngắt Newton nói mấy cái phát hiện linh tinh này ông đã tìm ra từ mấy năm trước. Harley vô cùng căm phẫn, cho rằng Newton muốn nuốt trôi công trình của mình nên ông quyết định sẽ “ăn thua đủ” nếu Newton không giải thích rõ ràng chuyện này. Hết cách Newton đành phải tiết lộ cho Halley biết những phát minh của mình đã giúp ông tính toán được rất nhiều các quỹ đạo của những thiên thể khác nhau. Halley đòi xem chúng, Newton dẫn ông ta đến một thùng đựng đầy giấy lộn nhưng đã không tìm thấy mấy tờ giấy có ghi lại tính toán về quỹ đạo sao chổi Halley. Có lẽ mấy tờ giấy đó đã cuốn theo những dòng nước vội vã sau một cơn đau bụng bất ngờ của Newton chăng? Newton đành phải giải thích rõ ràng, nào là ông ta đã phát minh ra vạn vật tương tác hút nhau như thế nào, rồi thì phát minh ra giải tích giúp ông ta tính toán quỹ đạo ra sao. Biết lực tương tác sẽ xác định được gia tốc định luật 2 newton, có gia tốc thì làm phép toán ngược với đạo hàm nguyên hàm – tích phân sẽ giúp ông tìm được vận tốc. Có vận tốc lại tìm được hàm quãng đường từ đó mà biết quỹ đạo… Quá kinh ngạc với phát minh vĩ đại này nên Halley đã tìm mọi biện pháp từ dụ dỗ tới cứng rắn buộc Newton phải công bố. Newton đã dành 2 năm để viết là công trình này và xuất bản trong cuốn sách nổi tiếng “Những nguyên lý toán học của triết học tự nhiên” cái tên thấy không liên quan gì. Nghe đồn rằng Newton cố tình viết thật khó hiểu đến nổi không có tới 10 người thời điểm đó đọc hiểu được cuốn sách trên. Việc công bố công trình của mình một cách trể nãi đã khiến giới khoa học rơi vào một cuộc tranh luận đáng tiếc. Về thực chất, Newton phát minh ra đạo hàm trước nhưng ông lại công bố sau Leibniz. Mặc dù hai nhà toán học này độc lập với nhau xây dựng nên cơ sở của giải tích, tuy nhiên những người bạn của họ lại cho rằng người này ăn cắp ý tưởng của người kia và thế là có một cuộc cãi vã đầy xấu hổ trong lịch sử toán học… Hình như bài viết đã quá dài rồi phải không? Tôi không chắc có nhiều độc giả đủ kiên nhẫn đọc đến khi tôi viết những dòng cuối cùng này. Dù sao nếu quả thật có ai đó như vậy, tôi thành thật gửi lời cảm ơn vì các bạn đã dành nhiều thời gian cho những chia sẻ của tôi. Chúc mọi người học toán thật thú vị và vui vẻ 🙂 A. Lý ThuyếtI. Các khái niệm cơ bản về chuyển động1 Cơ học, động học+ Cơ học ngành vật lý nghiên cứu về chuyển động của các vật thể.+ Động học ngành vật lý nghiên cứu các tính chất, quy luật chuyển động mà không tính tới nguyên nhân của chuyển động Chuyển động, chất điểm+ Chuyển động cơ học chuyển động là sự thay đổi vị trí của các vật thể.+ Chất điểm là vật thể có kích thước không đáng kể so với những kích thước, khoảng cách mà ta ý Khái niệm chuyển động, chất điểm có tính tương Quỹ đạo, quãng đường và độ dời+ Quỹ đạo là tập hợp các vị trí của chất điểm trong quá trình chuyển động.+ Quãng đường là độ dài của vết mà chất điểm vạch ra trong thời gian khảo sát chuyển động.+ Độ dời là vectơ nối từ vị trí đầu đến vị trí Hệ quy chiếuLà hệ thống gồm một vật mốc, hệ tọa độ gắn với vật mốc đó và đồng hồ đo thời gian, dùng để xác định vị trí của các vật tọa độ Descartes Oxyz\ \vec{r}=\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k} \\ \vec{r}=\left x,y,z \right \ hay \ M\left x,y,z \right \5 Phương trình chuyển động, phương trình quỹ đạo+ Phương trình chuyển động \ \left\{ \begin{align}& x=ft \\ & y=gt \\ & z=ht \\ \end{align} \right. \ cho biết vị trí ở thời gian t+ Khử t, ta được phương trình quỹ đạo \ \left\{ \begin{align}& Fx,y,z=0 \\ & Gx,y,z=0 \\\end{align} \right. \ cho biết hình dạng quỹ đạoNhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,... Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7 Dạy kèm Vật Lý Đại Cương Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được! Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!II. Tốc độ và vận tốc1 Tốc độ trung bình và vận tốc trung bình+ Tốc độ trung bình \ {{v}_{s}}={{v}_{tb}}=\bar{v}=\frac{s}{t} \\ {{v}_{s}}=\frac{s}{t}=\frac{{{s}_{1}}+{{s}_{2}}+…+{{s}_{n}}}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+…+{{t}_{n}}} \+ Vận tốc trung bình \ {{\vec{v}}_{tb}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}}}{t-{{t}_{0}}} \2 Tốc độ tức thời và vận tốc tức thời+ Tốc độ tức thời\ {{v}_{s}}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{s}{t}=\frac{ds}{dt}=s’ \+ Vận tốc tức thời \ \vec{v}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\left {\vec{r}} \right’ \⊗ Đặc điểm tức thời và vận tốc tức thời• Phương tiếp tuyến với quỹ đạo• Chiều theo chiều chuyển động• Độ lớn đạo hàm của quãng đường \ v=\left {\vec{v}} \right={{v}_{s}}=s’ \• Điểm đặt tại điểm khảo sát3 Ý nghĩa của tốc độ và vận tốc+ Tốc độ là đại lượng vô hướng, không âm, đặc trưng cho tính nhanh, chậm chuyển động.+ Vận tốc là đại lượng vectơ. Vận tốc tức thời đặc trưng cho phương, chiều và độ nhanh chậm của chuyển động.+ Độ lớn của vận tốc tức thời chính là tốc độ tức thời4 Biểu thức giải tích của vectơ vận tốc+ Trong hệ tọa độ Descartes \ \vec{r}=\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k} \\ \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}={{v}_{x}}.\overrightarrow{i}+{{v}_{y}}.\overrightarrow{j}+{{v}_{z}}.\overrightarrow{k}=\left {{v}_{x}},{{v}_{y}},{{v}_{z}} \right \Trong đó \ \left\{ \begin{align}& {{v}_{x}}=\frac{dx}{dt}=x’ \\ & {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=y’ \\ & {{v}_{z}}=\frac{dz}{dt}=z’ \\\end{align} \right. \+ Do đó \ v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}} \5 Tính quãng đườngTổng quát \ S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{vdx} \với \ v=\left {\vec{v}} \right \Nếu v = const thì \ s=v\left {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right= \.Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,... Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7 Dạy kèm Vật Lý Đại Cương Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được! Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!III. Gia tốc1 Định nghĩaGia tốc là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc, đo bằng độ biến thiên của vận tốc trong một đơn vị thời gian.+ Gia tốc trung bình \ {{\vec{a}}_{tb}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{\vec{v}-{{{\vec{v}}}_{O}}}{t-{{t}_{O}}} \+ Gia tốc tức thời \ \vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\left {\vec{v}} \right’ \+ Ý nghĩa gia tốc Đặc trưng cho sự biến thiên nhanh hay chậm của vectơ vận tốc. \ \vec{r} \overset{\text{Đạo Hàm}}{\underset{\text{Nguyên Hàm}}{\rightleftharpoons}} \vec{v} \overset{\text{Đạo Hàm}}{\underset{\text{Nguyên Hàm}}{\rightleftharpoons}}\vec{a} \2 Biểu thức giải tích của vectơ gia tốcTrong hệ tọa độ Descartes, ta có \ \vec{a}={{a}_{x}}.\overrightarrow{i}+{{a}_{y}}.\overrightarrow{j}+{{a}_{z}}.\overrightarrow{k}=\left {{a}_{x}},{{a}_{y}},{{a}_{z}} \right \Với \ \left\{ \begin{align}& {{a}_{x}}=\frac{d{{v}_{x}}}{dt}=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=x” \\& {{a}_{y}}=\frac{d{{v}_{y}}}{dt}=\frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}}=y” \\& {{a}_{z}}=\frac{d{{v}_{z}}}{dt}=\frac{{{d}^{2}}z}{d{{t}^{2}}}=z” \\\end{align} \right. \Suy ra, độ lớn của vectơ gia tốc \ a=\left {\vec{a}} \right=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} \.3 Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến+ Trong chuyển động cong, vectơ gia tốc \ \vec{a} \ được phân tích thành hai thành phần vuông góc nhau thành [hần tiếp tuyến \ {{\vec{a}}_{t}} \ và thành phần pháp tuyến \ {{\vec{a}}_{n}} \.+ Do đó \ \vec{a}={{\vec{a}}_{t}}+{{\vec{a}}_{n}} \, trong đó \ \left\{ \begin{align}& {{a}_{t}}=\frac{dv}{dt} \\& {{a}_{n}}=\frac{{{v}^{2}}}{R} \\\end{align} \right. \, với R là bán kính chính khúc của quỹ đạoVà có độ lớn \ a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}} \. Ý nghĩaGia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của vectơ vận tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về phương của vectơ vận gia tốc toàn phần luôn hướng về bề lõm của quỹ đạo.⊕ Trường hợp đặc biệt \ {{a}_{n}}=0 \ Chuyển động thẳng \ {{a}_{t}}=0 \ Chuyển động đều \ {{a}_{n}}=0 \ và \ {{a}_{t}}=0 \ Chuyển động thẳng đều. \ {{a}_{n}}=0 \ và \ {{a}_{t}}=const \ Chuyển động thẳng biến đổi đều. \ {{a}_{n}}=const \ và \ {{a}_{t}}=0 \ Chuyển động tròn đều. \ {{\vec{a}}_{t}}\uparrow \uparrow \vec{v} \ Chuyển động nhanh dần. \ {{\vec{a}}_{t}}\uparrow \downarrow \vec{v} \ Chuyển động chậm Bài tập có hướng dẫn giảiCâu 1. Trong mặt phẳng Oxy, chất điểm chuyển động với phương trình \ \left\{ \begin{align}& x=5-10\sin 2\pi t \\ & y=4+10\sin 2\pi t \\ \end{align} \right.\begin{matrix}{} & SI\\\end{matrix}\a Xác định vị trí của chất điểm lúc t = Xác định quỹ Xác định vectơ vận tốc lúc t = Tính quãng đường vật đi từ lúc t = 0 đến t = 5s. Suy ra tốc độ trung bình trên quãng đường dẫn giảia Lúc t = 5s, chất điểm ở tọa độ \ \left\{ \begin{align}& x=5-10\sin \left 2\pi .5 \right=5 \\& y=4+10\sin \left 2\pi .5 \right=4 \\\end{align}\right. \b Cộng hai vế phương trình để khử t, ta được phương trình quỹ đạo là đường thẳng \ x+y=9 \c Ta có \ \left\{ \begin{align}& {{v}_{x}}=x’=-20\pi \cos \left 2\pi t \right \\& {{v}_{y}}=y’=20\pi \cos \left 2\pi t \right \\\end{align} \right.\text{ }\left SI \right \\ \Rightarrow v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{{{\left[ -20\pi \cos \left 2\pi t \right \right]}^{2}}+{{\left[ 20\pi \cos \left 2\pi t \right \right]}^{2}}}=20\pi \sqrt{2}\left \cos \left 2\pi t \right \right \Lúc t = 5s, thì \ v=20\pi \sqrt{2}\left \cos \left 2\pi .5 \right \right=20\pi \sqrt{2}\text{ }m/s \d Quãng đường \ s=\int\limits_{0}^{5}{vdt}=\int\limits_{0}^{5}{20\pi \sqrt{2}\left \cos \left 2\pi t \right \rightdt}\approx 283\text{ }m \Suy ra, tốc độ trung bình \ \bar{v}=\frac{s}{t}=\frac{283}{5}=56,6\text{ }m/s \Câu 2. Xác định phương trình quỹ đạo, biết phương trình chuyển động của chất điểm có dạnga\ \left\{ \begin{align}& x=1-t \\& y=t-1 \\\end{align} \right. \b\ \left\{ \begin{align}& x=A\left 1-\sin t \right \\& y=A\left 1-\cos t \right \\\end{align} \right. \c\ \left\{ \begin{align}& x=A+R\cos \omega t \\& y=R\sin \omega t \\\end{align} \right. \Trong đó A và R là các hằng số dẫn giảia Cộng hai vế phương trình để khử t, ta được phương trình quỹ đạo có dạng là đường thẳng \ x+y=0 \b Ta có \ \left\{ \begin{align}& \frac{x}{A}=1-\sin t \\ & \frac{y}{A}=1-\cos t \\ \end{align} \right. \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{x}{A}-1=-\sin t \\& \frac{y}{A}-1=-\cos t \\\end{align} \right. \ \ \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left \frac{x}{A}-1 \right}^{2}}={{\sin }^{2}}t \\& {{\left \frac{y}{A}-1 \right}^{2}}={{\cos }^{2}}t \\\end{align} \right. \\ \Rightarrow {{\left \frac{x}{A}-1 \right}^{2}}+{{\left \frac{y}{A}-1 \right}^{2}}={{\sin }^{2}}t+{{\cos }^{2}}t=1 \\ \Leftrightarrow {{\left \frac{x-A}{A} \right}^{2}}+{{\left \frac{y-A}{A} \right}^{2}}=1 \\ \Leftrightarrow {{\left x-A \right}^{2}}+{{\left y-A \right}^{2}}={{A}^{2}} \Quỹ đạo của chất điểm là một đường tròn tâm A; A và có bán kính Ta có \ \left\{ \begin{align}& x=A+R\cos \omega t \\& y=R\sin \omega t \\\end{align} \right. \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x-A=R\cos \omega t \\& y=R\sin \omega t \\\end{align} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left x-A \right}^{2}}={{R}^{2}}{{\cos }^{2}}\omega t \\& {{y}^{2}}={{R}^{2}}{{\sin }^{2}}\omega t \\\end{align} \right. \\ \Rightarrow {{\left x-A \right}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}}{{\cos }^{2}}\omega t+{{R}^{2}}{{\sin }^{2}}\omega t={{R}^{2}}\left {{\cos }^{2}}\omega t+{{\sin }^{2}}\omega t \right \\ \Leftrightarrow {{\left x-A \right}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}} \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một đường tròn tâm A;0 và có bán kính 3. Phương trình chuyển động của một chất điểm trong hệ trục tọa độ Descartes\ x={{a}_{1}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{1}} \right\text{ } \\ y={{a}_{2}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right\text{ } \Xác định đạng quỹ đạo của chất điểm trong các trường hợp saua \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=2k\pi \b \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left 2k+1 \right\pi \c \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left 2k+1 \right\frac{\pi }{2} \d \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \ có giá trị bất kìHướng dẫn giảia Ta có \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=k2\pi \Rightarrow {{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}+k2\pi \ \ \Rightarrow x={{a}_{1}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}}+k2\pi \right={{a}_{1}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\frac{y}{{{a}_{2}}}\Leftrightarrow y=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \Vì \ -1\le \cos \left \omega t+{{\varphi }_{1}} \right\le 1 \ nên \ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \Vậy chất điểm chuyển động trên một đoạn thẳng biểu diễn bởi \ y=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \ với \ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \b Ta có \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left 2k+1 \right\pi \Rightarrow {{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}+\left 2k+1 \right\pi \ \ \Rightarrow x={{a}_{1}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}}+\left 2k+1 \right\pi \right=-{{a}_{1}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=-\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}+\frac{y}{{{a}_{2}}}=0\Leftrightarrow y=-\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \ với \ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \Vậy chất điểm chuyển động trên một đoạn thẳng biểu diễn bởi \ y=-\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}x \ với \ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \.c Ta có \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=\left 2k+1 \right\frac{\pi }{2}\Rightarrow {{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}+\left 2k+1 \right\frac{\pi }{2} \ \ \Rightarrow x={{a}_{1}}\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}}+\left 2k+1 \right\frac{\pi }{2} \right=\pm {{a}_{1}}\sin \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\pm \sin \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow {{\left \frac{x}{{{a}_{1}}} \right}^{2}}+{{\left \frac{y}{{{a}_{2}}} \right}^{2}}={{\cos }^{2}}\left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right+{{\sin }^{2}}\left \omega t+{{\varphi }_{2}} \right \ với \ -{{a}_{1}}\le x\le {{a}_{2}} \ \ \Leftrightarrow {{\left \frac{x}{{{a}_{1}}} \right}^{2}}+{{\left \frac{y}{{{a}_{2}}} \right}^{2}}=1 \Vậy chất điểm chuyển động trên một đường elip có dạng \ {{\left \frac{x}{{{a}_{1}}} \right}^{2}}+{{\left \frac{y}{{{a}_{2}}} \right}^{2}}=1 \.d Ta có \ x={{a}_{1}}\left \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}} \right \ \ \Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}=\cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}}\text{ }1 \ \ y={{a}_{2}}\left \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}} \right \ \ \Rightarrow \frac{y}{{{a}_{2}}}=\cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}}\text{ }2 \Nhân 1 với \ \cos {{\varphi }_{2}} \ và 2 với \ -\cos {{\varphi }_{1}} \rồi cộng vế với vế \ 1\Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}=\cos {{\varphi }_{2}}\left \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}} \right\begin{matrix}{} & 3 \\\end{matrix} \ \ 2\Rightarrow -\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=-\cos {{\varphi }_{1}}\left \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}} \right\begin{matrix}{} & 4 \\\end{matrix} \ \ 3+4\Rightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=\cos {{\varphi }_{2}}\left \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}} \right-\cos {{\varphi }_{1}}\left \cos \omega t.\cos {{\varphi }_{2}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}} \right \ \ \Leftrightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{2}}\cos {{\varphi }_{1}}-\sin \omega t.\sin {{\varphi }_{1}}\cos {{\varphi }_{2}} \ \ \Leftrightarrow \frac{x}{{{a}_{1}}}\cos {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\cos {{\varphi }_{1}}=\sin \omega t.\sin \left {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right\begin{matrix}{} & 5 \\\end{matrix} \Lại nhân 1 với \ \sin {{\varphi }_{2}} \ và 2 với \ -\sin {{\varphi }_{1}} \ rồi cộng vế với vế \ \frac{x}{{{a}_{1}}}\sin {{\varphi }_{2}}-\frac{y}{{{a}_{2}}}\sin {{\varphi }_{1}}=\cos \omega t.\sin \left {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right\begin{matrix} {} & 6 \\\end{matrix} \Bình phương 5 và 6 rồi cộng vế với vế \ \frac{{{x}^{2}}}{a_{1}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{a_{2}^{2}}-\frac{2xy}{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}\cos \left {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right={{\sin }^{2}}\left {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right\begin{matrix}{} & 7 \\\end{matrix} \Phương trình 7 biểu diễn một đường xét Có thể thu được các kết luận của phần a, b, c bằng cách thay \ {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \ bằng các giá trị tương ứng đã cho vào 7.Câu 4. Xác định quỹ đạo của chất điểm chuyển động với phương trình chuyển động sau đâya \ \left\{ \begin{align}& x=-t \\& y=2{{t}^{2}} \\& z=0 \\\end{align} \right. \b \ \left\{ \begin{align}& x=\cos t \\& y=2\cos 2t \\& z=0 \\\end{align} \right. \c \ \left\{ \begin{align}& x=2\sin t \\& y=0 \\& z=-2\cos t \\\end{align} \right. \d \ \left\{ \begin{align}& x=0 \\& y=3{{e}^{-2t}} \\& z=4{{e}^{2t}} \\\end{align} \right. \Hướng dẫn giảia \ \left\{ \begin{align}& x=-t \\& y=2{{t}^{2}} \\& z=0 \\\end{align} \right. \Ta có \ x=-t\Rightarrow {{x}^{2}}={{t}^{2}}\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}=-2{{t}^{2}} \ \ \Rightarrow -2{{x}^{2}}+y+z=0\Rightarrow y=2{{x}^{2}} \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một Parabol \ y=2{{x}^{2}} \b \ \left\{ \begin{align}& x=\cos t \\& y=2\cos 2t \\& z=0 \\\end{align} \right. \Tac có \ \cos 2t=2{{\cos }^{2}}t-1=2{{x}^{2}}-1\Rightarrow -2\cos 2t=-2{{x}^{2}}+1 \ \ -2{{x}^{2}}+1+y=0\Rightarrow y=2{{x}^{2}}-1 \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một Parabol \ y=2{{x}^{2}}-1 \c \ \left\{ \begin{align}& x=2\sin t \\& y=0 \\& z=-2\cos t \\\end{align} \right. \Ta có \ \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}=4{{\sin }^{2}}t \\& {{z}^{2}}=4{{\cos }^{2}}t \\\end{align} \right.\Rightarrow {{x}^{2}}+{{z}^{2}}=4\left {{\sin }^{2}}t+{{\cos }^{2}}t \right=4 \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một đường tròn \ {{x}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \d \ \left\{ \begin{align}& x=0 \\& y=3{{e}^{-2t}} \\& z=4{{e}^{2t}} \\\end{align} \right. \Ta có \ \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một hyperbol \ \Câu 5. Xác định quỹ đạo của chất điểm chuyển động với phương trình chuyển động sau đâya \ \left\{ \begin{align}& x=-sin2t \\& y=2 \\& z=2\sin 2t+1 \\\end{align} \right. \b \ \left\{ \begin{align}& x=-3 \\& y=\sin t \\& z=2\cos t \\\end{align} \right. \c \ \left\{ \begin{align}& x=\cos \omega t \\& y=b\cos \left \omega t+\varphi \right \\& z=-2 \\\end{align} \right. \Hướng dẫn giảia \ \left\{ \begin{align}& x=-sin2t \\& y=2 \\& z=2\sin 2t+1 \\\end{align} \right. \Ta có \ 2x=-2\sin 2t\Rightarrow 2x+z-1=0\Rightarrow z=-2x+1 \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một đường thẳng \ z=-2x+1 \b \ \left\{ \begin{align}& x=-3 \\& y=\sin t \\& z=2\cos t \\\end{align} \right. \Ta có \ \left\{ \begin{align}& {{y}^{2}}={{\sin }^{2}}t \\& \frac{{{z}^{2}}}{4}={{\cos }^{2}}t \\\end{align} \right.\Rightarrow \frac{{{y}^{2}}}{1}+\frac{{{z}^{2}}}{4}=1 \Vậy quỹ đạo của chất điểm là một elip \ \frac{{{y}^{2}}}{1}+\frac{{{z}^{2}}}{4}=1 \c \ \left\{ \begin{align}& x=a\cos \omega t \\& y=b\cos \left \omega t+\varphi \right \\& z=-2 \\\end{align} \right. \Ta có \ \left\{ \begin{align}& \frac{x}{a}=\cos \omega t \\& \frac{y}{b}=\cos \left \omega t+\varphi \right=\cos \omega t.\cos \varphi -\sin \omega t.\sin \varphi \\\end{align} \right. \ \ \Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{x}{a}=\cos \omega t \\& \frac{y}{b}=\frac{x}{a}.\cos \varphi -\sin \omega t.\sin \varphi \\\end{align} \right. \ \ \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left \frac{x}{a} \right}^{2}}={{\cos }^{2}}\omega t \\& \frac{y}{b}-\frac{x}{a}.\cos \varphi =-\sin \omega t.\sin \varphi \\\end{align} \right. \ \ \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left \frac{x}{a} \right}^{2}}={{\cos }^{2}}\omega t \\& \frac{y}{b.\sin \varphi }-\frac{x}{a.\sin \varphi }.\cos \varphi =-\sin \omega t \\\end{align} \right. \ \ \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left \frac{x}{a} \right}^{2}}={{\cos }^{2}}\omega t \\& {{\left \frac{y}{b.\sin \varphi }-\frac{x}{a.\sin \varphi }.\cos \varphi \right}^{2}}={{\sin }^{2}}\omega t \\\end{align} \right. \ \ \Rightarrow {{\left \frac{x}{a} \right}^{2}}+{{\left \frac{y}{b.\sin \varphi }-\frac{x}{a.\sin \varphi }.\cos \varphi \right}^{2}}=1 \ \ \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}-\frac{2xy}{ab}\cos \varphi ={{\sin }^{2}}\varphi \Vậy có thể thu được kết quả là elip, đường thẳng, vòng tròn tùy theo trị số của \ a,b,\varphi \.Câu 6. Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình \ \left\{ \begin{align}& x=3{{t}^{2}}-\frac{4}{3}{{t}^{2}} \\& y=8t \\\end{align} \right.\begin{matrix}{} & SI \\\end{matrix} \a Xác định vectơ gia tốc tại thời điểm t = Có thời điểm nào gia tốc triệt hay không?Hướng dẫn giảiTa có \ \left\{ \begin{align}& {{a}_{x}}=x”=6-8t \\& {{a}_{y}}=y”=0 \\\end{align} \right.\Rightarrow a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=\left 6-8t \right \a Lúc t = 3s thì \ \vec{a}=\left -18;0 \right \ và độ lớn \ a=18\text{ }m/{{s}^{2}} \.b Để gia tốc triệt tiêu thì \ a=0\Leftrightarrow 6-8t=0\Leftrightarrow t=0,75\text{ }s \.Vậy lúc t = 0,75 s thì gia tốc bằng 7. Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình \ \left\{ \begin{align}& x=10+50t \\& y=40t-5{{t}^{2}} \\\end{align} \right.\begin{matrix}{} & SI \\\end{matrix} \a Nhận dạng quỹ Xác định tung độ lớn nhất mà vật đạt Xác định các thành phần và độ lớn của vectơ vectơ, gia tốc tại thời điểm t = 2s. Tính gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến và bán kính chính khúc của quỹ đạo lúc dẫn giảia Ta có \ x=10+50t\Rightarrow t=\frac{x-10}{50} \, với \ x\ge 10\text{ }m \. \ \Rightarrow y=\frac{4}{5}\left x-10 \right-5{{\left \frac{x-10}{50} \right}^{2}}=-\frac{1}{500}{{x}^{2}}+\frac{21}{25}x-\frac{41}{5}\text{ }m \Vậy quỹ đạo là Parabol \ y=-\frac{1}{500}{{x}^{2}}+\frac{21}{25}x-\frac{41}{5}\text{ }m \, với \ x\ge 10\text{ }m \.b Tung độ lớn nhất \ {{y}_{\max }}\Leftrightarrow {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=y’=40-10t=0 \ \ \Leftrightarrow t=4\text{ }s\Rightarrow {{y}_{\max }}= }m \c+ Các thành phần của vectơ vận tốc lúc t = 2 s \ {{v}_{x}}=\frac{dx}{dt}=50\text{ }m/s \ \ {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=40-10t= }m/s \Độ lớn của vectơ vận tốc \ v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{{{50}^{2}}+{{20}^{2}}}=10\sqrt{29}\text{ }m/s \+ Các thành của vectơ gia tốc lúc t = 2 s \ {{a}_{x}}=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}=0\text{ }m/{{s}^{2}} \ \ {{a}_{y}}=\frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}}=-10\text{ }m/{{s}^{2}} \Độ lớn của vectơ gia tốc \ a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=\sqrt{{{0}^{2}}+{{\left -10 \right}^{2}}}=10\text{ }m/{{s}^{2}} \+ Gia tốc tiếp tuyến lúc t = 2 s \ {{a}_{t}}=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} \right={{\left \sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} \right}^{/}} \\ ={{\left \sqrt{{{50}^{2}}+{{\left 40-10t \right}^{2}}} \right}^{/}}=\frac{-10\left 40-10t \right}{\sqrt{{{50}^{2}}+{{\left 40-10t \right}^{2}}}} \\ =\frac{-10\left \right}{\sqrt{{{50}^{2}}+{{\left \right}^{2}}}}=\frac{-20\sqrt{29}}{29}\approx -3,7\text{ }m/{{s}^{2}} \Dấu trừ “-” chứng tỏ lúc t = 2s, vật chuyển động chậm dần+ Gia tốc pháp tuyến lúc t = 2 s \ {{a}_{n}}=\sqrt{{{a}^{2}}-a_{t}^{2}}=\sqrt{{{10}^{2}}-3,{{7}^{2}}}=9,3\text{ }m/{{s}^{2}} \+ Bán kính chính khúc của quỹ đạo lúc t = 2 s \ R=\frac{{{v}^{2}}}{{{a}_{n}}}=\frac{53,{{8}^{2}}}{9,3}=311\text{ }m \ Khi nói đến hiệu suất vận hành xe, nhiều người chỉ nghĩ ngay đến động cơ, hộp số và lốp xe. Tuy nhiên, có một yếu tố quan trọng hơn nhiều mà không ít người lơ là đó chính là đạo hàm quãng đường. Theo định nghĩa, đạo hàm quãng đường là một bộ phận tidak thể thiếu của hệ thống truyền động xe hơChức năng chính của đạo hàm quãng đường là có vai trò tạo ra lực kéo, giúp xe đạt được tốc độ và hiệu suất vận hành tối ưu. Tuy nhiên, nếu đạo hàm quãng đường không hoạt động tốt, nó sẽ khiến cho xe chạy chậm và tiêu thụ nhiên liệu nhiều hơn, thậm chí ảnh hưởng đến tuổi thọ của xe. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu một số vấn đề hay gặp liên quan đến đạo hàm quãng đường và cách giải quyết những vấn đề đó. Các yếu tố ảnh hưởng đến đạo hàm quãng đường Kiểm tra đạo hàm quãng đường giúp cải thiện sự hoạt động của xe hơi Đạo hàm quãng đường có thể bị ảnh hưởng bởi nhiều yếu tố khác nhau trong quá trình sử dụng xe. Dưới đây là ba yếu tố quan trọng nhất ảnh hưởng đến đạo hàm quãng đường của xe 1. Tần suất sử dụng và mức độ tải trọng của xe Khi xe được sử dụng với tần suất cao và mức độ tải trọng lớn, độ ma sát và áp lực trên đạo hàm quãng đường sẽ tăng lên. Điều này sẽ dẫn đến hiện tượng mòn hoặc hỏng hóc, và ảnh hưởng đến hiệu suất vận hành của xe. 2. Chất lượng và tuổi thọ của dầu bánh răng Chất lượng dầu bánh răng ảnh hưởng trực tiếp đến tuổi thọ và hoạt động của đạo hàm quãng đường. Dầu bánh răng càng được thay đổi thường xuyên và sử dụng chất lượng càng cao, đạo hàm quãng đường càng hoạt động tối ưu và mịn màng hơn. 3. Các vấn đề về hệ thống truyền động và lọc dầu Ngoài các yếu tố trên, các vấn đề về hệ thống truyền động và lọc dầu cũng có thể ảnh hưởng đến đạo hàm quãng đường. Chúng ta cần kiểm tra và bảo trì thường xuyên hệ thống này để giảm thiểu rủi ro và những vấn đề liên quan đến đạo hàm quãng đường. Tối Ưu Hóa Đạo Hàm Quãng Đường Đạo hàm quãng đường không tốt có thể gây ra sự mòn lốp xe Điều chỉnh và bảo trì đạo hàm quãng đường thường xuyên là một trong những bước quan trọng nhất để đảm bảo hiệu suất vận hành xe tối ưu. Dưới đây là một số cách tối ưu hóa đạo hàm quãng đường mà bạn có thể áp dụng để giảm thiểu các vấn đề liên quan đến hệ thống truyền động của xe. Điều chỉnh và thay đổi tỷ số truyền và bánh răng Điều chỉnh tỷ số truyền và bánh răng có thể giúp tối ưu hóa hiệu suất vận hành và giảm thiểu mức tiêu thụ nhiên liệu của xe. Việc thay đổi tỷ số có thể được thực hiện bằng cách thay đổi bánh răng trong hộp số. Bạn có thể tham khảo hướng dẫn sử dụng hoặc tìm kiếm các bài viết trên mạng để biết thêm chi tiết và cách thực hiện. Thay thế dầu bánh răng thường xuyên Dầu bánh răng là một trong những yếu tố quan trọng nhất của đạo hàm quãng đường và nó cũng đóng vai trò quan trọng trong việc giảm ma sát và chống oxi hóa. Do đó, để đảm bảo độ hoạt động tối ưu của đạo hàm quãng đường, bạn cần thay thế dầu bánh răng thường xuyên theo hướng dẫn của nhà sản xuất. Bảo trì và sửa chữa định kỳ hệ thống truyền động và lọc dầu Hệ thống truyền động và lọc dầu là các bộ phận rất quan trọng trong hệ thống đạo hàm quãng đường. Do đó, để đảm bảo hiệu suất vận hành xe, bạn nên thực hiện bảo trì và sửa chữa định kỳ theo hướng dẫn của nhà sản xuất và đưa xe đến trung tâm dịch vụ chuyên nghiệp để kiểm tra và sửa chữa khi cần thiết. Các lợi ích của tối ưu hóa đạo hàm quãng đường Tỉ số truyền động là một yếu tố quan trọng cho đạo hàm quãng đường Tối ưu hóa đạo hàm quãng đường không chỉ giúp cho hệ thống truyền động hoạt động tốt mà còn đem lại nhiều lợi ích khác cho xe và người sử dụng. Sau đây là một số lợi ích của việc tối ưu hóa đạo hàm quãng đường Tết kiệm nhiên liệu và giảm chi phí vận hành Việc tối ưu hóa đạo hàm quãng đường giúp xe tiêu thụ nhiên liệu ít hơn và đạt được hiệu suất vận hành tốt hơn. Tốc độ xe tăng lên nhanh hơn, giảm thiểu mức tiêu hao nhiên liệu, giảm chi phí đi lại và giảm thiếu khí thải độc hại ra môi trường. Tăng tuổi thọ của hệ thống truyền động Khi đạo hàm quãng đường hoạt động tốt, hệ thống truyền động sẽ không bị quá tải hoặc chịu áp lực lớn. Điều này làm cho các linh kiện của hệ thống truyền động ít bị mài mòn, kéo dài tuổi thọ của chúng và đồng thời giúp tiết kiệm chi phí bảo dưỡng. Tăng hiệu suất và khả năng tăng tốc của xe Đạo hàm quãng đường hoạt động tốt giúp giảm tải trọng lên động cơ và tăng tốc độ xe nhanh hơn. Khi tốc độ của xe tăng, động cơ sẽ chạy ở tần số thấp hơn, làm cho tiếng ồn phát ra ít hơn và đồng thời giúp tiết kiệm nhiên liệu hơn. Tóm lại, việc tối ưu hóa đạo hàm quãng đường không chỉ giúp xe hoạt động tốt hơn mà còn đem lại nhiều lợi ích khác cho người sử dụng. Hãy đảm bảo đạo hàm quãng đường trên xe của bạn được bảo trì và kiểm tra định kỳ để đạt được hiệu suất vận hành tốt nhất! Bảo Dưỡng Và Kiểm Tra Định Kỳ Đạo Hàm Quãng Đường Thay dầu bánh răng định kỳ giúp bảo vệ và tăng tuổi thọ cho đạo hàm quãng đường Điều quan trọng nhất để đảm bảo đạo hàm quãng đường hoạt động tốt là thực hiện bảo dưỡng và kiểm tra đều đặn. Bảo dưỡng và kiểm tra định kỳ đạo hàm quãng đường giúp phát hiện sớm bất kỳ vấn đề nào và cải thiện hiệu suất vận hành của xe. Vậy, thời gian kiểm tra và lịch bảo dưỡng đạo hàm quãng đường là bao lâu một lần? Các bước kiểm tra là gì? Hãy cùng tìm hiểu trong phần này. Thời Gian Kiểm Tra Và Lịch Bảo Dưỡng Đạo Hàm Quãng Đường Thông thường, thời gian kiểm tra và lịch bảo dưỡng đạo hàm quãng đường có thể được xác định trong tài liệu hướng dẫn sử dụng của nhà sản xuất xe. Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng xe rất thường xuyên hoặc thường xuyên đưa xe trong môi trường khắc nghiệt, bạn có thể cần kiểm tra và bảo dưỡng đạo hàm quãng đường thường xuyên hơn. Các Bước Kiểm Tra Đạo Hàm Quãng Đường Để kiểm tra đạo hàm quãng đường, bạn có thể thực hiện theo các bước sau Lọc dầu Đầu tiên, bạn nên kiểm tra lọc dầu bánh răng. Nếu lọc dầu bị bẩn hoặc bị tắc, nó sẽ làm giảm hiệu suất của đạo hàm quãng đường. Kiểm tra vạch dầu Sau khi kiểm tra lọc dầu, bạn tiếp tục kiểm tra vạch dầu. Nếu vạch dầu thấp hơn mức tối đa, bạn cần bổ sung thêm dầu. Kiểm tra bánh răng Bạn tiếp tục kiểm tra bánh răng. Nếu bánh răng bị mòn hoặc hư hỏng, bạn cần thay thế chúng. Lưu Ý Khi Vận Hành Xe Để Đảm Bảo Đạo Hàm Quãng Đường Hoạt Động Tốt Không chạy xe quá tải hoặc vượt quá tốc độ tối đa được chỉ định. Thay thế dầu bánh răng đúng cách theo lịch bảo dưỡng. Thường xuyên kiểm tra và bảo dưỡng đạo hàm quãng đường để giúp xe hoạt động tốt hơn và kéo dài tuổi thọ của nó. Ở đó, trên đây là một số thông tin liên quan đến bảo dưỡng và kiểm tra định kỳ đạo hàm quãng đường. Mong rằng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu được tầm quan trọng của việc duy trì và bảo dưỡng đạo hàm quãng đường để đảm bảo xe của bạn vận hành tốt và đạt được hiệu suất tối ưu. Kết Luận Đạo hàm quãng đường tối ưu giúp xe hơi chạy êm ái và tiết kiệm nhiên liệu Như vậy, đạo hàm quãng đường thực sự rất quan trọng đối với hiệu suất vận hành của xe. Tuy nhiên, nhiều người chủ quan và lơ là trong việc bảo dưỡng và kiểm tra đạo hàm quãng đường. Điều này không chỉ ảnh hưởng đến hiệu suất vận hành, mà còn đưa ra nguy cơ làm hỏng hệ thống truyền động và tăng chi phí sửa chữa. Vì vậy, cần phải thường xuyên kiểm tra và bảo trì đạo hàm quãng đường của xe. Điều này có thể được thực hiện thông qua việc điều chỉnh tỷ số truyền và bánh răng, thay thế dầu bánh răng và sửa chữa và bảo dưỡng định kỳ hệ thống truyền động và lọc dầu. Việc tối ưu hóa đạo hàm quãng đường có nhiều lợi ích, bao gồm tăng hiệu suất, tiết kiệm nhiên liệu và giảm chi phí vận hành. Vì vậy, nếu muốn xe của mình luôn hoạt động tốt và đạt hiệu quả cao trong việc tiết kiệm nhiên liệu và giảm thiểu chi phí vận hành, đạo hàm quãng đường là một yếu tố không thể bỏ qua. Chúng tôi hi vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn kiến thức cần thiết để hiểu rõ hơn về đạo hàm quãng đường và cách tối ưu hóa hiệu suất vận hành xe. Nếu bạn còn bất kỳ câu hỏi hay ý kiến nào, hãy để lại comment bên dưới, chúng tôi sẽ cố gắng trả lời bạn trong thời gian sớm nhất. adminThong

đạo hàm của quãng đường